;   MINLOG: probestud.scm

; Font für Beamer im Hörsaal 122:
; Fontset -> 20-dot medium
; misc    -> 12x24


(exload "Schueler/probestudstart.scm")




;   Wir beweisen:   f stetig -> f○f stetig



;   f stetig:

;   für alle x   f ist stetig an der Stelle x

;   all x,V.f x in V -> ex U.x in U & all y.y in U -> f y in V






(zuzeigen "all f.
      (all x,V.f x in V -> ex U.x in U & all y.y in U -> f y in V) -> 
      all x,V.f(f x)in V -> ex U.x in U & all y.y in U -> f(f y)in V")


(fix "f")
(nimm_an "f_ist_stetig")
(fix "x" "V")
(nimm_an "ffx_in_V")


;   Wir wenden die Stetigkeit von f an der Stelle f(x) für V an.

(verwende_gegebenes "f_ist_stetig"      fuer "f x" und_nenne_es  "f_stetig_an_f(x)")
(verwende_gegebenes "f_stetig_an_f(x)"  fuer "V"   und_nenne_es  "(*)"  )
(kombiniere "(*)"  mit "ffx_in_V"  und_nenne_es  "(**)"  )
(nicht_mehr_gebraucht "(*)" "ffx_in_V" "f_stetig_an_f(x)")
(nimm_ein "W" wie_in "(**)" gegeben_also "(***)")
(insbesondere_gilt "fx_in_W" : "f x in W" )






;   Wir wenden die Stetigkeit von f an der Stelle x  für W an.

(verwende_gegebenes "f_ist_stetig"   fuer "x"  und_nenne_es  "f_stetig_an_x")
(verwende_gegebenes "f_stetig_an_x"  fuer "W"  und_nenne_es  "(+)")
(kombiniere "(+)"  mit "fx_in_W"  und_nenne_es  "(++)")
(nicht_mehr_gebraucht "f_ist_stetig" "(+)" "fx_in_W" "f_stetig_an_x")
(nimm_ein "U" wie_in "(++)" gegeben_also "(+++)")








(nimm_das "U")

(zerlege_Behauptung)
  (Behauptung_folgt_aus "(+++)")
(fix "y")
(nimm_an "y_in_U")
(insbesondere_gilt "(****)" : "all y.y in W -> f y in V" )
(nicht_mehr_gebraucht "(***)")
(verwende_gegebenes "(****)"  fuer "f y"  und_nenne_es "(#)")
(benutze "(#)")
(benutze "(+++)")
(Behauptung_folgt_aus "y_in_U")

;   qed























;   Natürliche Zahlen


;   Wir wollen zeigen, daß jede Zahl eine "Wurzel" besitzt:


;   Für jedes n gibt es ein größtes k
;   dessen Quadrat kleiner oder gleich n ist.


;   für alle n   gibt es ein k   sodaß

;   k² <= n < (k+1)²


(zuzeigen "all n ex k. k*k <= n  &  n<(k+1)*(k+1)")



;   Beweis durch Induktion

(ind)


;   Induktionsanfang: k=0

(nimm_das "0")
(suche_einfachen_Beweis)




;   Induktionsschritt :  n -> Succ n

(fix "n")
(nimm_an "IV")
(nimm_ein "l" wie_in "IV" gegeben_also "IV_l")





;  Fallunterscheidung:      n+1 < (l+1)²   wahr oder falsch 

(Fallunterscheidung "Succ n<(l+1)*(l+1)")



;   FALL 1:  n+1 < (l+1)² ist wahr

(nimm_an "kleiner")

(nimm_das "l")
(zerlege_Behauptung) 
   (benutze "Hilfssatz2")
   (suche_einfachen_Beweis)
(benutze "kleiner")



;   FALL 2:  n+1 < (l+1)² ist falsch

(nimm_an "nicht_kleiner")

(nimm_das "l+1")
(zerlege_Behauptung)
   (benutze "Hilfssatz1")
   (benutze "nicht_kleiner")
(benutze "Hilfssatz2")
(suche_einfachen_Beweis)

;   qed

