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\programme{resopv}\label{ap:resopv}
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\vspace{1cm}
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\section*{Fonction}
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Dans ce sous-programme appelé dans \fort{navstv}, on effectue l'étape de projection de la vitesse (ou de correction de pression). L'équation de quantité de mouvement (pr\'ediction) est résolue dans \fort{predvv} avec une pression totalement explicite. Il en résulte un champ de vitesse qui ne satisfait pas l'\'equation de continuit\'e. Deux algorithmes de correction sont proposés :
\begin{enumerate}
\item L'algorithme que l'on appellera "couplage faible vitesse-pression". C'est un algorithme largement implanté dans les codes industriels. Il ne couple la vitesse et la pression qu'à travers le terme de masse (c'est l'algorithme proposé par défaut). C'est un algorithme de type \textit{SIMPLEC} proche du \textit{SIMPLE}. Ce dernier prend en compte, en plus du terme de masse, les diagonales simplifi\'ees de la convection, de la diffusion et des termes source implicites.
\item L'algorithme de couplage vitesse-pression renforcé (option \var{IPUCOU  = 1}). C'est un algorithme qui couple la vitesse et la pression à travers tous les termes (convection, diffusion et termes source implicites) de l'équation de quantité de mouvement sans pour autant être exact. Il permet en pratique de prendre de grands pas de temps sans découpler totalement la vitesse et la pression.
\end{enumerate}

Si $\delta p$ est l'incrément de pression ({\it i.e.} $p^{n+1} = p^n+\delta p$) et $\widetilde{u}$ la vitesse issue de l'étape de pr\'ediction, l'étape de projection revient d'un point de vue continu à résoudre une équation de Poisson :

\begin{equation}
\dive(\,{\tens{T}^n\ \grad{\delta p}}) = \dive(\,{\rho \,\widetilde{u}})
\end{equation}

et \`a corriger la vitesse :

\begin{equation}
\vect{u}^{n+1} = \vect{u}^n - \frac{1}{\rho}\ \tens{T}^n\ \grad{\delta p}
\end{equation}

$\tens{T}^n$ est un tenseur d'ordre 2 dont les termes sont homogènes à un pas de temps.

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\section*{Discr\'etisation}
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L'étape de pr\'ediction de la vitesse est décrite dans \fort{predvv}. On adopte ici une notation d'opérateurs pour simplifier la compréhension des algorithmes implantés.
L'équation discr\`ete de quantité de mouvement s'écrit, à un instant de r\'esolution interm\'ediaire, dans chaque direction d'espace $\alpha$ ($\alpha \in \{1,2,3\}$) :

\begin{equation}
\displaystyle
\tens{M}_{\,\alpha}^n\ \tens{R}^n\ (\widetilde{\vect{V_\alpha}} - \vect{V_\alpha}^n) +
\tens{A_\alpha}^n\ \widetilde{\vect{V_\alpha}} =
-\ \tens{G_\alpha}\ \vect{P}^n + \vect{S_\alpha}^n + \tens{I}_{\,s,\alpha}\ \widetilde{\vect{V_\alpha}}
\label{Base_Resopv_QDM}
\end{equation}
\begin{itemize}
\item[$\star$] $\tens{M}_{\,\alpha}^n$, de  dimension $ \var{NCEL} \times \var{NCEL}$, est une matrice diagonale contenant le rapport du volume d'une cellule et du pas de temps local ($\ \displaystyle {\tens{M}_{\,\alpha}^n}(i,i) = \frac{|\Omega_i|}{{\Delta t}_{\,\alpha,I}^n} $\ ), ${\Delta t}_{\alpha,I}^n$ représente le pas de temps dans la direction d'espace $\alpha$ à la cellule $\Omega_i$ et au pas de temps $n$,
\item[$\star$] $ \tens{R}^n $, de dimension $\var{NCEL} \times \var{NCEL}$, est la matrice diagonale contenant la masse volumique (on la sépare de la matrice de masse pour l'étape de projection de $\rho \vect{u} $). Par d\'efinition, $ \tens{R}^n(i,i) = \rho^{\,n}_{\,I}$ et l'apparition du vide \'etant exclue, cette matrice est naturellement inversible,
\item[$\star$] $\widetilde{\vect{V_\alpha}}$, de dimension $\var{NCEL}$, est un tableau où est stockée la $\alpha^{\text{ème}}$ composante de la vitesse prédite $\widetilde{\vect{u}}$,
\item[$\star$] $\vect{V_\alpha}^n$, de dimension $\var{NCEL}$, est un tableau où est stockée la $\alpha^{\text{\`eme}}$ composante de la vitesse $\vect{u}^n$ à l'instant précédent $n$,
\item[$\star$] $\tens{A_\alpha}^n$ désigne l'opérateur de convection/diffusion (cet opérateur n'est pas forcément linéaire à cause des tests de pente éventuels dans le terme de convection, il peut d\'ependre de $\vect{V_\alpha}$),

\item[$\star$] $\tens{G_\alpha}$ est l'opérateur linéaire\footnote{en toute rigueur, à cause des limitations éventuelles de gradient qui peuvent être activées par l'utilisateur, cet opérateur peut ne plus être vraiment linéaire} gradient "cellules" dans la direction $\alpha$ (il est donc appliqu\'e \`a des vecteurs de dimension \var{NCEL}),
\item[$\star$] $\vect{P}^n$, de dimension $\var{NCEL}$, est un tableau où est
stockée la pression $p^n$ du pas de temps pr\'ec\'edent à chaque cellule,

\item[$\star$] $\vect{S_\alpha}^{\,n}$ est le tableau de dimension $\var{NCEL}$ qui contient tous les termes source explicites (voir \fort{predvv} pour plus de détails),

\item[$\star$] $\tens{I}_{\,s,\alpha}$ est le tenseur diagonal relatif aux termes source implicites des composantes de la vitesse.
\end{itemize}

L'\'etape de correction consiste \`a imposer :
\begin{equation}\label{Base_Resopv_Eq_Cont}
\dive(\,{\rho\,\vect{u}}\,) = \Gamma
\end{equation}
o\`u $\Gamma$ est un terme source de masse \'eventuel.
%($\Gamma = 0$ pour un \'ecoulement incompressible et non dilatable).

Soit $\vect W$ le tableau de dimension $3 \times \var{NCEL}$ qui contient toutes les composantes de la quantité de mouvement ($\vect{V}$ d\'esigne $\vect{V}^n$, $\vect{V}^{n+1}$ ou $\widetilde{\vect{V}}$).
$$ \vect{W} = \tens{R}^n\ \vect{V} = \left(
                    \begin{array} {c}
                    \rho^n\ \vect{V_1} \\
                    \rho^n\ \vect{V_2} \\
                    \rho^n\ \vect{V_3}
                    \end{array}
              \right)
$$

Soit $\tens{D}$ l'opérateur de divergence.
L'équation de continuité (\ref{Base_Resopv_Eq_Cont}) s'écrit :
\begin{equation}\notag
\tens{D}\ \vect{W} = \vect{\Gamma}
\end{equation}
$\vect{\Gamma}$ contient la valeur de $\Gamma$ au centre des cellules.

D'après l'équation discr\`ete (\ref{Base_Resopv_QDM}), on écrit pour tout $\alpha \in \{1,2,3\}$ :
\begin{equation}
\displaystyle
(\tens{M}_{\,\alpha}^n + \tens{A_{\,\alpha}}^n\ {(\tens{R}^{n})}^{-1} -\ \tens{I}_{\,s,\alpha}\ {(\tens{R}^n)}^{-1})\ \tens{R}^n\ \widetilde{\vect{V_\alpha}} = -\ \tens{G_\alpha}\ \vect{P}^n + \vect{S_{\,\alpha}}^n + \tens{M_{\,\alpha}}\ \tens{R}^n\ \vect{V_\alpha}^n
\label{Base_Resopv_eqn2}
\end{equation}

On pose :
$$ \tens{B_{\,\alpha}} =  \tens{M}_{\,\alpha}^n + \tens{A_{\,\alpha}}^n\ {(\tens{R}^n)}^{-1} - \tens{I}_{\,s,\alpha}\ {(\tens{R}^n)}^{-1}$$
$$ \tens{B} = \left(
                    \begin{array} {ccc}
                    \tens{B_1} & 0 & 0 \\
                    0 & \tens{B_2} & 0 \\
                    0 & 0 & \tens{B_3}
                    \end{array}
              \right)
$$
$$ \tens{G} = \left(
                    \begin{array} {c}
                    \tens{G_1} \\
                    \tens{G_2} \\
                    \tens{G_3}
                    \end{array}
              \right)
$$
$$ \vect{S}^{\,n} = \left(
                      \begin{array} {c}
                      \vect{S_1}^n+\ \tens{M}_{\,1}\ \tens{R}^n\ \vect{V_1}^n\\
                      \vect{S_2}^n+\ \tens{M}_{\,2}\ \tens{R}^n\ \vect{V_2}^n\\
                      \vect{S_3}^n+\ \tens{M}_{\,3}\ \tens{R}^n\ \vect{V_3}^n
                      \end{array}
                \right)
$$

On peut donc écrire :
\begin{equation}
\tens{B}\ \widetilde{\vect{W}} = -\ \tens{G}\ \vect{P}^{\,n} + \vect{S}^{\,n}
\label{Base_Resopv_eqn3}
\end{equation}

La m\'ethode des pas fractionnaires se d\'ecompose en deux \'etapes :
\begin{enumerate}
\item r\'esolution de l'\'equation (\ref{Base_Resopv_QDM}) (cette \'equation nous donne l'\'equation(\ref{Base_Resopv_eqn3})), soit :
\begin{equation}
\displaystyle
\tens{M}_{\,\alpha}^n\ \tens{R}^n\ (\widetilde{\vect{V_\alpha}} - \vect{V_\alpha}^n) +
\tens{A_{\,\alpha}}^n\ \widetilde{\vect{V_\alpha}} - \tens{I}_{\,s,\alpha}\ \widetilde{\vect{V_\alpha}}
 =
-\ \tens{G_\alpha}\ \vect{P}^{\,n} + \vect{S_\alpha}^n
\label{Base_Resopv_QDM2}
\end{equation}

\item soustraction\footnote{On néglige la variation des termes sources explicites $\vect{S_\alpha}^n$ qui sont toujours estim\'es en $n$.} de l'\'equation de quantit\'e de mouvement prise \`a l'instant $(n+1)$ de (\ref{Base_Resopv_QDM2}) :
\begin{equation}
\displaystyle
\tens{M}_{\,\alpha}^n\ \tens{R}^n\ (\vect{V_\alpha}^{n+1} - \widetilde{\vect{V_\alpha}}) +
\tens{A_{\,\alpha}}^n\ (\vect{V_\alpha}^{n+1} - \widetilde{\vect{V_\alpha}}) - \tens{I}_{\,s,\alpha}\ (\vect{V_\alpha}^{n+1} - \widetilde{\vect{V_\alpha}})
 =
-\ \tens{G_{\,\alpha}}\ (\vect{P}^{\,n+1}- \vect{P}^{\,n})
\label{Base_Resopv_frac2}
\end{equation}
\end{enumerate}

L'\'equation (\ref{Base_Resopv_frac2}) nous donne :

\begin{equation}
\tens{B}\ (\vect{W}^{n+1}-\widetilde{\vect{W}}) = -\ \tens{G}\ (\vect{P}^{\,n+1}-\vect{P}^{\,n})
\label{Base_Resopv_eqn5}
\end{equation}

avec :
$$ \vect{W}^{\,n+1} = \tens{R}^n\ \vect{V}^{\,n+1}
$$

Or :
$$\tens{D}\ \vect{W}^{\,n+1} = \vect{\Gamma} $$

D'où, en posant $ \delta \vect{P} = \vect{P}^{\,n+1} - \vect{P}^{\,n}$,

\begin{equation}
 \tens{D}\ \tens{B}^{-1}\,\tens{G}\ \,\delta \vect{P} =\ \tens{D}\ \vect{\widetilde{W}} -\ \vect{\Gamma}
\label{Base_Resopv_eqn5bis}
\end{equation}

Il nous reste donc à inverser le système (\ref{Base_Resopv_eqn5bis}) pour d\'eterminer
$\delta p$ (donc $p^{\,n+1}$) et corriger la vitesse pour obtenir
$\vect{u}^{\,n+1}$. La correction de la vitesse se fait dans \fort{navstv},
en incrémentant la vitesse par le gradient de l'incrément de pression $\delta p$
calculé.

Le problème provient tout d'abord du calcul de $\tens{B}^{-1}$. En effet, il a été jugé trop coûteux de calculer l'inverse de $\tens{B}$. Les algorithmes "couplage faible vitesse-pression" et celui du "couplage vitesse-pression renforc\'e" correspondent à une approximation de cet opérateur.

Dans le cas de l'algorithme "couplage faible vitesse-pression", on suppose $\tens{B}_{\,\alpha}^{-1} = \tens{M}_{\,\alpha}^{-1}$ (on pourrait inclure aussi les  termes diagonaux issus de la convection, de la diffusion et des termes source implicites).

Pour le "couplage vitesse-pression renforc\'e", on inverse le système\footnote{$\vect{\Omega} = (|\Omega_1|,...,|\Omega_{\var{NCEL}}|,|\Omega_1|,...,|\Omega_{\var{NCEL}}|,|\Omega_1|,...,|\Omega_{\var{NCEL}}|)$.} $\tens{B}\ \vect{T} = \vect{\Omega} $ et on pose $\tens{B}_{\,\alpha}^{-1}~=~\text{diag}(T_\alpha) $. Cette étape a lieu dans le sous-programme \fort{predvv}.

Les écritures à l'aide des opérateurs posent un inconvénient majeur avec la
discrétisation colocalisée. En effet, l'opérateur\footnote{On insiste sur le
fait que l'op\'erateur $\tens{G}$ est l'op\'erateur "gradients cellules"
appliqu\'e \`a la pression explicite lors de la pr\'ediction de la vitesse.}
$\tens{D}\ \tens{B}^{-1}\ \tens{G}$  peut découpler les n{\oe}uds pairs et impairs sur
un maillage cartésien et r\'egulier\footnote{Si $u_i$ est la valeur d'une
variable aux centres des cellules sur un maillage cart\'esien 1D, le Laplacien
de $u$ calcul\'e par cet op\'erateur en $i$ s'\'ecrit : $\displaystyle
\frac{u_{i-2}+2u_i-u_{i+2}}{4h^2}$, o\`u $\displaystyle h$ est le pas
d'espace. D'o\`u le d\'ecouplage des cellules.}.
Pour \'eviter ce probl\`eme, on utilise l'opérateur $\tens{L}$ (issu
naturellement de la formulation volumes finis colocalis\'ee de l'op\'erateur
$\dive(\,\grad\,))$ défini en chaque cellule\footnote{On rappelle que $Vois(i)$ est l'ensemble des centres des cellules voisines de ${\Omega_i}$ et
$\gamma_b(i)$ l'ensemble des centres \'eventuels des faces de bord de ${\Omega_i}$.} $\Omega_i$ de centre $I$ par\footnote{Si $u_i$ est la valeur d'une variable aux centres des cellules sur un maillage cart\'esien 1D, le Laplacien de $u$ par ce dernier op\'erateur en $i$ s'\'ecrit : $\displaystyle \frac{u_{i-1}+2u_i-u_{i+1}}{4h^2}$, o\`u $\displaystyle h$ est le pas d'espace.}:
\begin{equation}\label{Base_Resopv_eqn7}
\begin{array}{ll}
&(\tens{L}\ \delta \vect{P})_I = \sum\limits_{j\in Vois(i)}[\ \tens{T}^{\,n}_{\,ij}\ (\grad{\delta p})_{\,f_{\,ij}}]\,.\,\vect{S}_{\,ij}
+ \sum\limits_{k\in {\gamma_b(i)}}[\ \tens{T}^{\,n}_{\,b_{\,ik}}\ (\grad{\delta p})_{\,f_{\,b_{\,ik}}}]\,.\,\vect{S}_{\,b_{\,ik}}
\end{array}
\end{equation}
$\tens{T}^n$ un tenseur diagonal d'ordre 2 contenant les pas de temps dans les trois directions d'espace et $\vect{S}_{\,ij}$ (respectivement $\vect{S}_{\,b_{\,ik}}$) le vecteur surface de la face purement interne $ij$ (resp. de la face de bord $ik$). Le gradient $(\grad{ \delta p})_{\,f_{  }}$  présent dans l'équation (\ref{Base_Resopv_eqn7}) est un gradient facette\footnote{Sur maillage orthogonal, $\displaystyle (\grad{p})_{\,f_{\,ij}} \ . \ \vect{S}_{\,ij} = \frac{ p_J - p_I }{\overline{IJ}} S_{\,ij}$. $I$ (resp. $J$) et $I'$ (resp. $J'$) sont en effet superpos\'es.}.

D'un point de vue continu, on peut écrire\footnote{Dans le cas de l'algorithme "couplage faible vitesse-pression", $\widetilde{T}^n_I = \Delta t^{\,n}_I$.}:
$$(\tens{L}\ \vect{P}^{n+1})_I = \int_{\Omega_i}\dive{(\ {\tens{T}}^n \ \grad{p^{n+1}})} \ d\Omega $$
%$$(\tens{L}\ \vect{P}^{n+1})_I = \int_{\Omega_i}\dive{(\ \widetilde{\tens{T}}^n \ \grad%{p^{n+1}})} \ d\Omega $$
L'opérateur $\tens{L}$ ne pose pas de problème de découplage pair/impair sur les maillages cart\'esiens et r\'eguliers.

Avec l'algorithme "couplage faible vitesse-pression" :
$ \tens{T}_{\,I}^{\,n} = \left(
                      \begin{array} {ccc}
                      \Delta t_I^{\,n} & 0 & 0 \\
                      0 & \Delta t_I^{\,n} & 0 \\
                      0 & 0 & \Delta t_I^{\,n}
                      \end{array}
                \right) $\\
et avec l'algorithme "couplage vitesse-pression renforc\'e" :
$ \tens{T}_{\,I}^{\,n} = \left(
                      \begin{array} {ccc}
                      T_{\,11,\,I}^{\,n} & 0 & 0 \\
                      0 &  T_{\,22,\,I}^{\,n}&0 \\
                      0 & 0 & T_{\,33,\,I}^{\,n}
                      \end{array}
                \right) $

La matrice du syst\`eme de pression, dans le cas de l'utilisation du "couplage vitesse-pression renforc\'e", n'est pas facilement calculable \`a cause du terme :
$$[\ \tens{T}^{\,n}_{\,ij}\ (\grad{\delta
p})_{\,f_{\,ij}}]\,.\,\vect{S}_{\,ij}$$ pour une face interne $ij$ et du terme : $$[\ \tens{T}^{\,n}_{\,b_{\,ik}}\ (\grad{\delta p})_{\,f_{\,b_{\,ik}}}]\,.
\,\vect{S}_{\,b_{\,ik}}$$ pour une face de bord.\\
En effet, \`a cause du changement de la viscosit\'e suivant la direction de l'espace du fait de l'anisotropie de $\tens{T}^n$, il faudrait calculer les gradients directionnels en fonction du gradient normal.
%(\delta p) = \tens{T}^{\,n}\ (\grad{(\delta p)})_{\,f } =

On pose pour tout scalaire $a$, sans pr\'eciser pour le moment la nature du gradient $\grad$ :
$$ \vect{\widetilde{G}}\ a = \tens{T}^{\,n}\ \grad{a} =
              \left(
                    \begin{array} {c}
                    \displaystyle T_{11}^{\,n}\ \frac{\partial a}{\partial x}\\
                    \displaystyle T_{22}^{\,n}\ \frac{\partial a}{\partial y}\\
                    \displaystyle T_{33}^{\,n}\ \frac{\partial a}{\partial z}
                    \end{array}
              \right)
$$
On peut \'egalement d\'efinir :\\
$$ \left[(\vect{\widetilde{G}}\ a )_{\,cell}\right]_{\,ij}\,.\,\vect{S}_{\,ij} \overset{\text{\it\small d\'ef}}{=} \left[\tens{T}^{\,n}\ (\grad{a})\right]_{\,ij}\,.\,\vect{S}_{\,ij} $$  o\`u
$\grad{a}$ est le gradient cellule classique de $a$.\\

De m\^eme , on pose :
$$ \left[(\vect{\widetilde{G}}\ a )_{\,f}\right]_{\,ij}\,.\,\vect{S}_{\,ij} \overset{\text{\it\small d\'ef}}{=} \left[\tens{T}^{\,n}\ ((\grad{a}))_{\,f}\right]_{\,ij}\,.\,\vect{S}_{\,ij} $$
o\`u $(\grad{a})_{\,f}$ est le gradient facette de $a$.\\

On doit calculer $\vect{\widetilde{G}}\ (\delta p)\,.\,\vect{S}$ \`a la face.\\
S'il s'agit d'un gradient cellule, cela n'engendre aucune difficult\'e, les composantes du gradient cellule \'etant  toutes parfaitement calculables.\\
Par contre, s'il s'agit d'un gradient facette, seule la d\'ecomposition sur la normale \`a la face est exploitable\footnote{D'apr\`es la formule $ \displaystyle\frac { p_{\,J'} - p_{\,I'}}{\overline{I'J'}} S_{\,ij}$.}. On a  besoin, explicitement et s\'epar\'ement, des quantit\'es $\displaystyle \frac{\partial (\delta p)}{\partial x}$, $\displaystyle \frac{\partial (\delta p)}{\partial y}$ et $\displaystyle \frac{\partial (\delta p)}{\partial z}$ ce qui rend difficile l'utilisation du gradient normal de l'incr\'ement de la pression.\\
On fait donc une approximation sur le gradient de l'incr\'ement de la pression en supposant qu'il est \'egal \`a sa composante normale\footnote{{\it i.e.} on ne prend pas en compte la composante tangentielle $((\grad{(\delta p)})_{\,f}\,.\,\vect{\tau}).\vect{\tau}$, $\vect{\tau}$ \'etant un vecteur tangentiel unitaire.}, c'est \`a dire :
\begin{equation}
(\grad{(\delta p)})_{\,f} \approx ((\grad{(\delta p)})_{\,f}\,.\,\vect{n})\ \vect{n}
\end{equation}
o\`u $\vect{n}$ est la normale ext\'erieure unitaire.
On a donc :
$$ \vect{\widetilde{G}}\ (\delta p) \approx ((\grad{(\delta p)})_{\,f}\,.\,\vect{n})\ (\tens{T}^n\ \vect{n})$$
On peut donc se ramener au cas d'un pas de temps scalaire $\widetilde{T}^n_{\,ij}$ en posant :
\begin{equation}
\widetilde{T}^n_{\,ij} = (\tens{T}^n_{\,ij}\ \vect{n})\,.\,\vect{n}
\label{Base_Resopv_approx2}
\end{equation}
En effet :
\begin{equation}
\begin{array} {lll}
[\ \tens{T}^{\,n}_{\,ij}\ (\grad{\delta p})_{\,f_{\,ij}}]\,.\,\vect{S}_{\,ij}& \approx (\tens{T}^n_{\,ij}\ \vect{n})\,.\,\vect{S}_{\,ij}\ (\grad{(\delta p)}_{f_{\,ij}}\,.\,\vect{n}) \\
 & =  (\tens{T}^n_{\,ij}\ \vect{n})\,.\,\vect{n} \ ({\grad{(\delta p)}}_{f_{\,ij}}\,.\,\vect{n}) \ S_{\,ij} \\
 & =  \widetilde{T}^n_{\,ij} \ ({\grad{(\delta p)}}_{f_{\,ij}}\,.\,\vect{n}) \ S_{\,ij}
 \end{array}
\label{Base_Resopv_approximation}
\end{equation}
or :
\begin{equation}
\begin{array} {lll}\label{Base_Resopv_Eq_Exacte}
\widetilde{T}^n_{\,ij} \ ({\grad{(\delta p)}}_{f_{\,ij}}\,.\,\vect{n}) \ S_{\,ij} &= \widetilde{T}^n_{\,ij} \ {\grad{(\delta p)}}_{f_{\,ij}}\,.\,\vect{S}_{\,ij}\\
&=\,\widetilde{T}^n_{\,ij}\ \left[ P_J - P_I
 + (\ \vect{JJ'} - \vect{II'}\ )\,\displaystyle \frac{1}{2}\ (\,{\grad P}_I + \,{\grad P}_J\,)\right]\, \displaystyle \frac{S_{\,ij}}{\overline{I'J'}}
\end{array}
\end{equation}
Ceci intervient lors de la reconstruction des gradients au second membre du syst\`eme final \`a r\'esoudre, par appel aux sous-programmes \fort{itrmas} et \fort{itrgrp}.\\
En fait, l'approximation ($\displaystyle \widetilde{T}^n_{\,ij}=(\tens{T}^n_{\,ij}\ \vect{n})\,.\,\vect{n}$) n'y est pas utilis\'ee. En effet, puisqu'on calcule un gradient directionnel de l'incr\'ement de pression avec le sous-programme \fort{grdcel}, on se permet d'utiliser le tenseur $\tens{T}$ pour corriger le terme $[\ \tens{T}^{\,n}_{\,ij}\ (\grad{\delta p})_{\,f_{\,ij}}]\,.\,\vect{S}_{\,ij}$ .\\
En pratique, on le discr\'etise, pour une face interne $ij$, par\footnote{Le coefficient $\displaystyle \frac{1}{2}$ dans (\ref{Base_Resopv_grad1}) est mis pour des raisons de stabilit\'e. En effet, l'utilisation des coefficients de pond\'eration aux faces serait plus exact mais probablement moins stable.}
 :
\begin{equation}\label{Base_Resopv_grad1}
\begin{array} {lll}
&[\ \tens{T}^{\,n}_{\,ij}\ (\grad{\delta p})_{\,f_{\,ij}}]\,.\,\vect{S}_{\,ij}
&=\left[\widetilde{T}^n_{\,ij}\ \displaystyle \frac{P_J - P_I}{\overline{I'J'}} + \displaystyle
 \frac{\vect{JJ'} -\vect{II'}}{\overline{I'J'}} \, \frac{1}{2}\ (\,\tens{T}^{\,n}_{\,I}\ {\grad P}_I + \tens{T}^{\,n}_{\,J}\ {\grad P}_J\,)\right]\,S_{\,ij}
\end{array}
\end{equation}
au lieu de (\ref{Base_Resopv_Eq_Exacte}).
On proc\`ede de m\^eme pour les termes de bord.\\
Par la suite, on notera quand m\^eme cette expression $\widetilde{T}^n_{\,ij} \ ({\grad{(\delta p)}}_{f_{\,ij}}\,.\,\vect{S}_{\,ij})$.\\
Il reste le terme $\tens{D}\ \widetilde{\vect{W}}$, qui \textit{via} les gradients cellule de la pression présents dans l'équation de quantité de mouvement, découple les cellules paires et impaires sur une grille cartésienne.
On utilise pour éviter ce problème un filtre de type Rhie \& Chow qui permet de lisser la contribution de la pression de l'équation de quantité de mouvement.
On écrit :
\begin{equation}\label{Base_Resopv_eqn8}
\begin{array}{lll}
(\tens{D}\ \widetilde{\vect{W}})_I = &\sum\limits_{j\in Vois(i)}[\rho^{\,n} \widetilde{\vect{u}} + \alpha_{\,Arak}\ (\vect{\widetilde{G}}\ (p^n))_{\,cell}]_{\,f_{\,ij}}\,.\,\vect{S}_{\,ij} - \alpha_{\,Arak}\sum\limits_{j\in Vois(i)}\ \widetilde{T}^n_{\,ij}\ (\grad{p^{n}})_{\,f_{\,ij}}\,.\,\vect{S}_{\,ij} \\
&+ \sum\limits_{k\in {\gamma_b(i)}}[\rho^{\,n} \widetilde{\vect{u}} + \alpha_{\,Arak}\ (\vect{\widetilde{G}}\ (p^n))_{\,cell}]_{\,f_{\,b_{\,ik}}}\,.\,\vect{S}_{\,b_{\,ik}} - \alpha_{\,Arak}\sum\limits_{k\in {\gamma_b(i)}}\widetilde{T}^n_{\,b_{\,ik}}\ (\grad{p^{n}})_{\,f_{b_{\,ik}}}\,.\,\vect{S}_{\,b_{\,ik}}\\
&= \sum\limits_{j\in Vois(i)} \widetilde{m}_{\,ij} + \sum\limits_{k\in {\gamma_b(i)}}\widetilde{m}_{\,b_{\,ik}}
\end{array}
\end{equation}
$\widetilde{m}_{\,ij}$ (resp. $\widetilde{m}_{\,b_{\,ik}}$) est le flux de masse à la face purement interne $ij$ (resp.\`a la face de bord $ik$) modifié par le filtre Rhie \& Chow.\\
$(\grad{p^{n}})_{f_{\,ij}}$ est un gradient facette alors que $[\rho^{\,n} \widetilde{\vect{u}} + \alpha_{\,Arak}\ (\vect{\widetilde{G}}\ (p^n))_{\,cell}]_{\,f_{\,ij}}$ est une valeur \`a la face interpol\'ee \`a partir des valeurs estim\'ees aux cellules (le gradient de pression dans ce terme est un gradient cellule). Cette pr\'ecision s'applique \'egalement aux termes de bord.\\
Dans \CS, $ \alpha_{\,Arak} $ est appelé pour des raisons historiques "le coefficient d'Arakawa". Il est noté \var{ARAK}.

Il faut remarquer, encore une fois, que pour le filtre Rhie \& Chow, le tenseur $\tens{T}^n$ est utilis\'e dans le terme volumique $\widetilde{\vect{G}}$ alors que l'approximation (\ref{Base_Resopv_approx2}) est appliqu\'ee lors du calcul du gradient facette.

Finalement, d'apr\`es (\ref{Base_Resopv_eqn5bis}) et (\ref{Base_Resopv_eqn7}), on résout :
\begin{equation}
\sum\limits_{j\in Vois(i)}\ \widetilde{T}^n_{\,ij}\ (\grad{(\delta p)})_{\,f_{\,ij}}\,.\,\vect{S}_{\,ij} + \sum\limits_{k\in {\gamma_b(i)}}\widetilde{T}^n_{\,b_{\,ik}}\ (\grad{(\delta p)})_{\,f_{b_{\,ik}}}\,.\,\vect{S}_{\,b_{\,ik}} = \sum\limits_{j\in Vois(i)} \widetilde{m}_{\,ij} + \sum\limits_{k\in {\gamma_b(i)}}\widetilde{m}_{\,b_{\,ik}} -\ \Gamma_I
\label{Base_Resopv_Poisson}
\end{equation}
Pour la prise en compte des non orthogonalités, on résout ce système linéaire par incrément, en ajoutant au second membre les termes de reconstruction. Si $\delta(\delta p)$ est l'incrément de l'incrément (l'incrément de la variable $\delta p$ à calculer) et $k$ l'indice d'itération sur le point fixe, on résout exactement :
\begin{equation}
\begin{array}{lcl}
&\sum\limits_{j\in Vois(i)}\ \widetilde{T}^n_{\,ij}\ \displaystyle \frac{(\delta(\delta p))_I^{\,k+1}-(\delta(\delta p))_J^{\,k+1}}{\overline{I'J'}}\ S_{\,ij} + \sum\limits_{k\in {\gamma_b(i)}}\widetilde{T}^n_{\,b_{\,ik}}\ \displaystyle\frac{(\delta(\delta p))_I^{\,k+1}-(\delta(\delta p))_{\,b_{ik}}^{\,k+1}}{\overline{I'F}}\ S_{\,b_{\,ik}} \\
&= \sum\limits_{j\in Vois(i)} \widetilde{m}_{\,ij} + \sum\limits_{k\in {\gamma_b(i)}}\widetilde{m}_{\,b_{\,ik}}\\
& - \sum\limits_{j\in Vois(i)}\,\widetilde{T}^n_{\,ij}\ (\grad{(\delta{p})^k})_{\,f_{\,ij}}\,.\,\vect{S}_{\,ij} - \sum\limits_{k\in {\gamma_b(i)}}\,\widetilde{T}^n_{\,b_{\,ik}}\ (\grad{(\delta{p})^k})_{\,f_{b_{\,ik}}}\,.\,\vect{S}_{\,b_{\,ik}}
- \ \Gamma_I\\
&= \sum\limits_{j\in Vois(i)} m^{\,k}_{\,ij} + \sum\limits_{k\in {\gamma_b(i)}}m^{\,k}_{\,b_{\,ik}} - \ \Gamma_I
\end{array}
\label{Base_Resopv_equation resolue}
\end{equation}
avec :
\begin{equation}\label{Base_Resopv_increment}
\left\{\begin{array}{lll}
(\delta(\delta p))^{0} &= 0\\
(\delta(\delta p))^{k+1} &= (\delta p)^{k+1}-(\delta p)^k &\text {$\forall k \in \mathbb{N}$}\\
\end{array}\right.
\end{equation}
Ce sont les gradients facette $(\grad{(\delta{p})^k})_{\,f_{\,ij}}$ et $(\grad{(\delta{p})^k})_{\,f_{b_{\,ik}}}$ qui seront reconstruits.

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\section*{Mise en \oe uvre}
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On expose dans ce qui suit l'algorithme tel qu'il est écrit dans \fort{resopv}.

$\vect{T}^n$ désignera un tableau de dimension $3$ contenant les pas de temps locaux dans chaque direction (pour l'utilisation du "couplage vitesse-pression renforc\'e"). Dans le cas de l'algorithme "couplage faible vitesse-pression", on garde cette notation, les pas de temps étant égaux dans les trois directions de l'espace.

\etape {Calcul de la matrice du système à résoudre}
\begin{itemize}
\item calcul du coefficient de diffusion aux faces pour le Laplacien de pression (le coefficient de diffusion utilise le pas de temps de calcul ou celui du "couplage vitesse-pression renforc\'e"). Deux cas se présentent suivant l'algorithme de couplage vitesse/pression choisi par l'utilisateur :

\begin{enumerate}
\item Appel de \fort{viscfa} avec une viscosité totale égale au pas de temps $\Delta t_I^n$ pour l'algorithme "couplage faible vitesse-pression" (\var{IPUCOU} = 0),
\item Appel de \fort{visort} avec une viscosité totale diagonale pour l'algorithme du "couplage vitesse-pression renforc\'e" (\var{IPUCOU} = 1). C'est \`a ce niveau qu'est calcul\'e $\widetilde{T}^n_{\,ij}$. Les pas de temps équivalents calculés auparavant dans la subroutine \fort{predvv} sont stockés dans le tableau \var{TPUCOU}.
\end{enumerate}

\item Appel de \fort{matrix} pour la construction de la matrice de diffusion de la pression (sans les termes de reconstruction qui ne peuvent pas être pris en compte si on veut garder une structure de matrice creuse) avec la viscosité calculée préc\'edemment et le tableau \var{COEFB} des conditions aux limites de la pression $p^n$ (on impose une condition de Neumann homog\`ene (resp. Dirichlet homog\`ene) sur $\delta p$ pour une condition de Neumann (resp. Dirichlet) pour $p$).

\end{itemize}

\etape{Calcul du résidu de normalisation \var{RNORMP}}
Cette \'etape est r\'ealis\'ee directement dans \fort{predvv} \`a partir de la version
1.1.0.s, et le r\'esidu de normalisation est transmis par l'interm\'ediaire de
la variable RNORMP(IPHAS).

Le tableau \var{TRAV} contient à ce niveau de \CS \ le second membre issu de \fort{predvv} sans les termes source utilisateur. Le calcul de \var{RNORMP} se fait de la façon suivante :

\begin{enumerate}

\item $\displaystyle \var{TRAV}(I) = \widetilde{\vect{u}}_{\,I} - \frac {\Delta t^n_I} {\rho_I \ |\Omega_i|} \var{TRAV}(I) + \frac{(\rho_I - \rho_0 ) \Delta t^n_I }{\rho_I} \vect{g}$,
\item Appel de \fort{inimas} pour calculer le flux de masse du vecteur $\var{TRAV}$ (on calcule à chaque face $\displaystyle \rho_{\,ij} \ \var{TRAV}_{\,ij}\,.\,\vect{S}_{\,ij}$, où $\vect{S}$ est le vecteur surface). On impose le nombre de \textit{sweeps} (ou d'it\'erations) total \`a $1$ (\var{NSWRP} = 1), ce qui signifie que l'on ne recontruit pas les gradients lors de ce passage dans \fort{inimas} (pour des raisons de gain de temps de calcul). Les tableaux des conditions aux limites qui sont passés dans \fort{inimas} sont ceux de la vitesse $\vect{u}^n$.
\item Appel de \fort{divmas} pour calculer la divergence par cellule du flux de masse précédent. La divergence est stockée dans le tableau de travail \var{W1}.
\item Les termes source de masse stockés dans le tableau \var{SMACEL} sont ajoutés \`a \var{W1}.
\begin{equation}
\var{W1}(I) = \var{W1}(I) - \frac{|\Omega_i|}{\rho_I} \var{SMACEL}(I)
\label {SM1}
\end{equation}
\item Appel de \fort{prodsc} ($\var{RNORMP} = \sqrt{\var{W1}.\var{W1}}$). \var{RNORMP} servira dans le test d'arrêt du solveur de pression pour normaliser le résidu (voir la routine \fort{gradco} pour l'inversion par gradient conjugué).

\end{enumerate}

\etape{préparation de la résolution du système}

\begin{itemize}

\item Appel de \fort{grdcel} pour le calcul du gradient de la pression $p^n$. Le résultat est stocké dans \var{TRAV}. \var{TRAV} contient donc à ce niveau $\displaystyle \frac{\partial p^n}{\partial x}$, $\displaystyle \frac{\partial p^n}{\partial y}$, $\displaystyle \frac{\partial p^n}{\partial z}$.

\item Introduction du gradient cellule de la pression explicite $p^n$ pour l'utilisation du filtre Rhie~\&~Chow.

$$ \var{TRAV}(I) = \widetilde{\vect{u}}_{\,I} + \frac{\var{ARAK}}{\rho_I} \ \tens{T}^n_{\,I}\ \grad{p^n}_{\,I}$$

\var{ARAK} représente le coefficient dit "d'Arakawa" que l'utilisateur peut modifier dans \fort{usini1} et qui vaut $1$ par défaut. Pour simplifier les notations, on pose $\var{ARAK} = \alpha_{\,Arak}$.

\item Appel de \fort{inimas} pour calculer le flux de masse de \var{TRAV}. Les conditions aux limites appliquées sont celles de la vitesse (voir sous-programme \fort{navstv}). Ceci reste une approximation des conditions aux limites de \var{TRAV}. Le flux de masse est donc égal à (voir sous-programme \fort{inimas} pour plus de détails sur le calcul aux faces de bord) :

$$m_{\,ij} = \left[\rho \widetilde{\vect{u}}+ \displaystyle \alpha_{\,Arak}\ \tens{T}^n\ \grad(p^n)\right]_{\,f_{\,ij}}\,.\,\vect{S}_{\,ij}$$

\item Appel de \fort{itrmas} pour incrémenter le flux de masse aux faces\footnote{$(\grad{p^n})_{\,f_{\,ij}}\,.\,\vect{S}_{\,ij}$ est le gradient normal à la face égal, sur un maillage orthogonal, à $\displaystyle \frac{ p^n_J - p^n_I}{\overline{IJ}} S_{\,ij}$.} de $$- \alpha_{\,Arak}\  \widetilde{T}^{\,n}_{\,ij}\ (\grad{p}^n)_{\,f_{\,ij}}\,.\,\vect{S}_{\,ij}.$$

\item Appel de \fort{clmlga} pour l'utilisation d'un algorithme de multigrille algébrique pour l'inversion de la matrice de pression.

\item initialisation de $\delta p$, $\delta(\delta p)$ et \var{SMBR} à 0. \var{SMBR} servira à stocker le second membre. Dans le code, \var{RTP(*,IPRIPH)} et \var{DRTP} contiennent respectivement $\delta p$ et $\delta(\delta p)$.
\item Appel de \fort{divmas} pour le calcul de la divergence du flux de masse issu du dernier appel de \fort{itrmas}. Cette divergence est stockée dans le tableau de travail \var{W7}.
\item Ajout des contributions des termes source de masse\footnote{Le tableau \var{W7} contient le second membre sans le gradient de $\delta p$. Il reste donc inchang\'e \`a chaque \textit{sweep}. En revanche, \var{SMBR} contient le second membre complet qui varie \`a chaque \textit{sweep}.} à \var{W7}.
\begin{equation}
\var{W7}(I) =  \var{W7}(I) - |\Omega_i|\ \var{SMACEL}(I)
\label {SM2}
\end{equation}
\end{itemize}

\etape{Boucle sur les non orthogonalités}
Une seule inversion permettrait de résoudre le problème en supposant que le maillage soit orthogonal. On décrit ci-dessous la boucle sur les non orthogonalités.

\begin{itemize}

\item début de la boucle sur $k$ (dans ce qui suit, on est en $k+1$)

\begin{itemize}

\item[$\star$] Actualisation de \var{SMBR} au début de la boucle\footnote{Le signe "-" résulte de la construction de la matrice.}.
$$ \var{SMBR}(I) = -\var{W7}(I) - \var{SMBR}(I) $$

\item[$\star$] Calcul de la norme de \var{SMBR} dans \fort{prodsc}. On l'appelle \var{RESIDU}. Comme on résout le système par incrément, le second membre doit s'annuler à convergence.
\item[$\star$] Si $ \var{RESIDU} < 10 \times \varepsilon \times \var{RNORMP}$, la
convergence est atteinte\footnote{$\varepsilon$ est la tolérance associée à la pression qui peut être
modifiée par l'utilisateur dans \fort{usini1}, {\it via} le tableau \var{EPSILO}.}.
\begin{itemize}
\item[$\Rightarrow$] Appel de \fort{itrmas} pour la réactualisation du flux de masse avec le gradient facette $(\grad (\delta p)^k)_{\,f}$. On calcule donc à chaque face $\widetilde{T}^{\,n}_{\,ij}\ (\grad(\delta p)^k)_{\,f_{\,ij}}\,.\,\vect{S}_{\,ij}$ et $\widetilde{T}^{\,n}_{\,b_{\,ik}}\ (\grad(\delta p)^k)_{\,f_{\,b_{\,ik}}}\,.\,\vect{S}_{\,b_{\,ik}}$.

\item[$\Rightarrow$] réactualisation\footnote{$(\delta p)^k = \sum\limits_{l=1}^{l=k} (\delta(\delta p))^l $ est stockée dans \var{RTP(*,IPRIPH)}.} de la pression $p^{n+1} = p^{n} + \sum\limits_{l=1}^{l=k} (\delta(\delta p))^l$.
\end{itemize}

\item[$\star$] Sinon,
\begin{itemize}
\item[$\Rightarrow$] $(\delta(\delta p))^{k+1} = 0$,
\item[$\Rightarrow$] Appel de \fort{invers} pour l'inversion du système (\ref{Base_Resopv_equation resolue}). Le test d'arrêt de l'algorithme d'inversion \var{RESIDU} est normalisé par \var{RNORMP} (voir \fort{gradco} pour l'inversion de la pression).
\end{itemize}
\item[$\star$] Si on atteint le nombre de \textit{sweeps} maximal,
\begin{itemize}
\item[$\Rightarrow$] Appel de \fort{itrmas} pour l'incrémentation du flux de masse par le gradient de la pression $(\delta p)^{k}$.
\item[$\Rightarrow$] Second appel de \fort{itrmas} pour l'incrémentation du flux de masse avec le gradient de $(\delta(\delta p))^{k+1}$ non reconstruit pour assurer une divergence finale nulle, ceci pour rester cohérent avec la matrice de pression qui ne prend pas en compte les non orthogonalités\footnote{On pourra se r\'ef\'erer au sous-programme \fort{navstv} pour plus de d\'etails.}.
\item[$\Rightarrow$] mise à jour de l'incrément de pression $(\delta p)^{k+1} = (\delta p)^{k} + (\delta(\delta p))^{k+1}$.
\end{itemize}
\item[$\star$]  Sinon,
\begin{itemize}
\item[$\Rightarrow$] Incrémentation du flux de masse en prenant en compte un coefficient de relaxation. $ (\delta p)^{k+1} = (\delta  p)^{k} + \var{RELAX} \times (\delta(\delta) p)^{k+1}$. Le coefficient de relaxation est mis par défaut à $1$ et peut être modifié dans \fort{usini1}.
\item[$\Rightarrow$] Appel de \fort{itrgrp} pour le calcul de la partie en $\tens{T}^n\ \grad{(\delta p)}$ du second membre (auquel sera ajout\'e le tableau \var{W7} en d\'ebut de boucle).
$$\var{SMBR}(I) = \sum\limits_{j\in Vois(i)}\,\widetilde{T}^{\,n}_{\,ij}\ (\grad(\delta p)^k)_{\,f_{\,ij}}\,.\,\vect{S}_{\,ij} + \sum\limits_{k\in {\gamma_b(i)}} \,\widetilde{T}^n_{\,b_{\,ik}}\ (\grad{(\delta p)^k})_{\,f_{b_{\,ik}}}\,.\,\vect{S}_{\,b_{\,ik}}$$
\end{itemize}
\end{itemize}

\item fin de la boucle
\end{itemize}
\etape {réactualisation de la pression}
On réactualise la pression par la somme des incréments de $\delta p$.
$$p^{n+1} = p^n + (\delta p)_{k_{conv}}$$
avec,
$$(\delta p)_{k_{conv}} = \sum\limits_{k=1}^{k=k_{conv}}{(\delta(\delta p))^k} $$

En pratique, \var{RTP} contient $(\delta p)^k_{conv}$. On incr\'emente donc $p^n$ par \var{RTP} :

$$\var{RTP} = \var{RTPA} + \var{RTP} $$

\clearpage

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\section*{Points \`a traiter}
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Il reste plusieurs probl\`emes \`a r\'esoudre :
\begin{enumerate}

\item L'approximation du gradient de l'incr\'ement de la pression par le gradient normal peut poser des probl\`emes de consistance, notamment avec la remarque ci-dessous.
\item L'approximation $\ \widetilde{T}^n \approx (\tens{T}^n \ \vect{n})\,.\,\vect{n}\ $ n'est pas faite lors de la reconstruction des gradients au second membre de l'\'equation de pression. Elle n'est pas faite non plus pour le calcul du gradient cellule lors de l'application du filtre Rhie \& Chow.

\item Utilisation de pond\'eration $\displaystyle \frac {1}{2}$ lors de calculs de valeurs aux faces pour des raisons de stabilit\'e num\'erique (ex. dans \fort{itrmas} ou \fort{itrgrp} lors de la reconstruction du gradient de l'incr\'ement de pression \`a la face).

\item On pourra v\'erifier le calcul du r\'esidu de normalisation (voir \fort{predvv}).

\item Lors du calcul du flux de masse de $\displaystyle \widetilde{u}+
\frac{\alpha}{\rho}\ \tens{T}\ \grad{p^n}$ dans \fort{inimas}, on utilise les
conditions aux limites de la vitesse au temps $n$. Ceci reste un point peu clair
particuli\`erement pour les conditions aux limites de sortie. Il faudra plus
g\'en\'eralement analyser les conditions aux limites des variables dans
\fort{navstv}. Ce probl\`eme est \`a relier \`a celui signal\'e pour \fort{visecv}.

\item Lors du test de convergence de la boucle sur les non orthogonalit\'es, on multiplie la tol\'erance par 10. Est-ce réellement nécessaire ?

\item Il faudrait revoir le probl\`eme de relaxation lors de l'actualisation de
la  pression dans la boucle sur les non orthogonalit\'es (un coefficient de relaxation dynamique serait peut-être int\'eressant).

\item Le filtre de Rhie \& Chow peut s'avérer assez gênant dans certaines configurations. Il serait intéressant, avant toute
travail de modification, de vérifier
qu'il est vraiment utile, en identifiant clairement une configuration où il joue un rôle positif certain, si une telle configuration
existe.

\end{enumerate}

